2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题15 利用导数解决单调问题 含解析 .docx

专题15利用导数解决单调问题

【考点预测】

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

2、已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；

（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

（5）导数图像定区间；

【方法技巧与总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；

（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.

注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

单调递增；单调递增；

单调递减；单调递减.

【典例例题】

例1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得：，即的定义域为；

，

当时，；当时，；

的单调递增区间为．

故选：A．

例2．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（???）

A．为增函数 B．有两个零点

C．的最大值为2e D．的图象关于对称

【答案】D

【解析】A：，令，得，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；

B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，

且，所以函数在R上没有零点，故B错误；

C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即函数的最小值为，故C错误；

D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.

故选：D

例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的定义域为，且在定义域内单调递增，

在上恒成立，

即在上恒成立．

令，

，

，

即实数的取值范围为．

故选：B

例4．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（????）

A．或 B． C．或 D．

【答案】C

【解析】，

，令得：，

函数的单调递减区间为，函数在上单调递减，

，，

又函数在上连续，或，

或.

故选：C．

例5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．的导函数为 B．在上单调递减

C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为

【答案】C

【解析】A：，因此本选项不正确；

B：由上可知：，

当时，，