2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题16 极值与最值 含解析 .docx

专题16极值与最值

【考点预测】

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

2、函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

导函数为

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

【典例例题】

例1．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数，

可得，

若，此时单调递增，无极值点，

故，令，解得，

当时，，当时，，

故是的极值点

由于函数有大于零的极值点，

，解得．

故选：C．

例2．（2024·高三·陕西·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值

C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减

【答案】C

【解析】由题意及图得，当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，

故选：C.

例3．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数没有极值点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，是开口向上的二次函数，

因为函数没有极值点，则，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：B.

例4．（2024·高二·湖北黄冈·期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为（???????）

A．1 B．2或6 C．2 D．6

【答案】C

【解析】，

由题意得，即，解得或6，

当时，，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故函数在处有极小值，满足要求，

当时，，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故函数在处有极大值，不合要求，

故常数的值为2.

故选：C

例5．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（????）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】D

【解析】由题意可知：，

所以当时，则在上单调递增，

所以.

故选：D.

例6．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．的导函数为 B．在上单调递减

C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为

【答案】C

【解析】A：，因此本选项不正确；

B：由上可知：，

当时，，函数单调递增，