2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题33 概率与统计综合问题 含解析 .docxVIP

专题33概率与统计综合问题

【典型例题】

例1．（2024·全国·模拟预测）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想艺术技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘．为了解大家对这一标识的看法，某网站进行了一次网络调研，并将参与调查的网友对这一标识的打分情况（分数在50分到100分之间）绘制成频率分布直方图如下：

??

(1)求网友打分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）、中位数（保留一位小数）；

(2)设网友打分的平均值为，若按打分是否在区间内进行分层抽样，抽取10人进行深度调研，打分在区间内的至少抽取8人，试估计的最小值（保留两位小数）．

【解析】（1）网友打分的平均值为

．

分数在的频率，

分数在的频率，

设中位数为，则，

，得，

即中位数约为73.3．

（2）由（1）可知．

要使抽取的10人的打分在内的人数不低于8人，

则打分在区间内的频率不低于0.8．

若，则，

频率；

若，则，

频率．

当最小时，，

且，

解得，即的最小值约为13.95．

例2．（2024·全国·模拟预测）2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.

??

(1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望.

【解析】（1）因为，

所以评分结果在的频率为0.2，所以，

所以参展商对志愿者服务评分的平均数为

；

（2）由题意，评分不低于90分的概率为0.3，故，

则，，

，，

所以的分布列为

0

1

2

3

0.343

0.441

0.189

0.027

所以.（或者）

例3．（2024高三·全国·专题练习）近年来，随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，其因颜值高、动力充沛、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧，但是充电难成为影响新能源汽车销量的主要原因，国家为了加快新能源汽车的普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩．某地区2019－2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：

年份

2019

2020

2021

2022

2023

充电桩数量x/万台

1

3

5

7

9

新能源汽车年销量y/万辆

25

37

48

58

72

(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；

(2)求y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

参考数据：，，，．

【解析】（1）由题知，，

又，，，

所以，

因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1，

所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2），，

所以y关于x的线性回归方程为．

当时，，

故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆．

例4．（2024·全国·模拟预测）2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在和的评分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．

【解析】（1）由频率分布直方图可得：

，

即评分在的频率为0.2，

故，

故各组频率依次为：，，，，。

所以平均值为．

（2）由题可知：抽取的20份评分结果中，评分在的份数为，分别