2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题35 圆的方程快速基础能力提升 含解析 .docx

专题35圆的方程快速基础能力提升

【考点预测】

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）.

注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内.

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四、直线与圆的位置关系判断

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

则直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：

则直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离.

五、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

则两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

【典型例题】

例1．（2024·高二·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，

则圆的方程为，又点在圆上，

所以，解得，

所以所求圆的方程为．

故选：A

例2．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线相切，则圆O的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依题意，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，

即，

所以圆O的方程为.

故选：A.

例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由圆，可得圆心，

又由，在以为直径的圆的圆心为，半径为，

则所求圆的方程为．

故选：C．

例4．（2024·高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，

设点关于直线对称的点为，

所以，解得：，

所以所求圆的圆心为，半径为,

故所求圆的方程为：.

故选：A.

例5．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（????）

A．3 B．4 C．8 D．6

【答案】D

【解析】设圆的方程为，代入点，，，

则，解得，

可得，整理得符合题意，

所以圆的方程为，

令，可得，解得，所以．

故选：D.

例6．（2024·陕西西安·二模）设直线与圆交于两点，则（????）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径为，

∵圆心到直线的距离，

.

故选：B.

例7．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（????）

A．点在圆外 B．直线平分圆

C．圆的周长为 D．直线与圆相离

【答案】D

【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1．

对于选项A：由点到圆心的距离

所以点在圆外，故A正确；

对于选项B：因为圆心在直线上，

所以圆关于直线对称，故B正确；

对于选项C，圆的周长为，故C正确；

对于选项D，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相切，故D错误．

故选：D．

例8．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】圆化成标准方程为，

点在圆O外，则有，

即，解得或.

故选：D．

例9．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，则两圆的位置关系为（????）

A．相切 B．外离 C．内含 D．相交

【答案】D

【解析】因为可化为

则，半径，

因为可化为，

则，半径，

则，因为，

所以两圆相交.

故选：D.

例10．（2024·高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（????）

A．{t|－1＜t＜}

B．{t|－＜t＜1}

C．{t|－1＜t＜}

D．{t|1＜t＜2}

【答案】B

【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，