2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程 含解析 .docx

专题37圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程

【考点预测】

求动点的轨迹方程

一、直译法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。

二、定义法

若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则

可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。

三、相关点法（代入法）

有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。

【典型例题】

例1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（????）

A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆

【答案】D

【解析】设点，点，

则，.

由可得：，即.

所以点的轨迹为圆.

故选：D

例2．（2024·高二·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，动点满足，

由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，

设双曲线方程为，则有，，，

所以动点的轨迹方程为.

故选：D.

例3．（2024·高二·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知动点满足方程，

设，且，

则有，

故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，

则，，

故所求轨迹方程为,

故选：B.

例4．（2024·高二·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，，

由点是的中点，得，可得，

又点在圆上运动，所以，

将上式代入可得，，

化简整理得点的轨迹方程为：.

故选：B

例5．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（??）

A．

B．

C．或

D．

【答案】A

【解析】设分别与圆相切于点，则，，，

所以，且，

所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)，

这里，，，则，

故点的轨迹方程为.

故选：A

例6．（2024·广西梧州·模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，

因为圆与圆关于直线对称，

所以的中点满足直线方程，解得，

过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，

所以解得：，

故选：C．

例7．（2024·高二·全国·课时练习）等腰三角形ABC中，若底边的两个顶点的坐标分别为，则第三个顶点C的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，底边的两个顶点为，则，

即第三个顶点C在线段的垂直平分线上，

设，易知的中点坐标为，，

所以的垂直平分线斜率，利用直线的点斜式方程可得

即的垂直平分线方程为，

又三点构成三角形，所以，

即C的轨迹方程为.

故选：C

例8．（2024·高二·上海浦东新·期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，，

为中点，，则，即，

又在椭圆上，，即，

点轨迹方程为：.

故选：D.

例9．（2024·高二·广东深圳·期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设,因为,所以

又因为,所以,

即得

可得点的轨迹方程为

故选:.

例10．（2024·高三·全国·专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为．

【答案】

【解析】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为．

故答案为：

例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.

【答案】

【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．

∵线段的垂直平分线交于点，如图，

∴，

∴，

∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

∴，，，

∴其轨迹方程为．

故答案为：．

例12．（2024·高三·全国·专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是

【答案】

【解析】因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.

故答案为：

例13．（202