第五章 专题四 模型拓展（北师大版七年级下册数学课件）.pptxVIP

单元复习课专题四模型拓展

模型一：“一线两点”型（一动点+两定点）(1)异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.

(2)同侧线段和最小值问题（将军饮马）问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.

(3)同侧线段差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA-PB的值最大.

(4)异侧线段差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA-PB的值最大.

1.已知点P在∠MON内．（1）如图D5-4-1①，点P关于射线OM的对称点是点G，点P关于射线ON的对称点是点H，连接OG，OH，OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=；②若OP=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；100°（2）如图D5-4-1②，若∠MON=60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

解：（1）②当∠MON=90°时，GH=10.理由如下：因为OP=5，所以OG=OH=5.当∠MON=90°时，∠GOH=180°，此时点G，O，H在同一直线上，所以GH=OG+OH=10.

（2）如答图D5-4-1，分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″，连接OP，OP′，OP″，P′P″，P′P″交OM，ON于点A，B，连接PA，PB，则AP=AP′，BP=BP″，此时△PAB的周长的最小值为AP+AB+BP=AP′+AB+BP″=P′P″．由轴对称的性质，得OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，所以∠P′OP″=2∠MON=2×60°=120°.所以∠OP′P″=∠OP″P′=（180°-120°）÷2=30°.所以∠OPA=∠OP′A=30°.同理可得∠OPB=∠OP″B=30°.所以∠APB=∠OPA+∠OPB=30°+30°=60°.

模型二：“一点两线”型（两动点+一定点）(1)周长最小值问题问题：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小.

(2)两条线段之和最小值问题问题：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，OB上找一点N,使得PN+MN的值最小.

2.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图D5-4-2①，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B.

请利用上述模型解决下列问题：(1)如图D5-4-2②，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA+PE的值最小；(2)如图D5-4-2③，∠AOB＝30°，M，N分别为OA，OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．解：(1)如答图D5-4-2，作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1E，交BC于点P，点P即为所求.

(2)作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA，OB于点M，N，如答图D5-4-3.所以PM=FM,PN=GN.所以PM+MN+PN=FM+MN+GN=FG.此时△PMN的周长的最小值等于FG的长.由轴对称的性质，得∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，OP＝OF，OP＝OG.

因为∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝5，所以∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝5.所以△FOG是边长为5的等边三角形.所以FG＝5.所以△PMN的周长的最小值为5．

谢谢