2025年新高考艺术生数学突破讲义：复数经典问题.pdfVIP

复数经典问题

【考点预测】

一.基本概念

2kZ4k4k14k24k3

（1）叫虚数单位，满足ii1，当时，i1,ii,i1,ii.

（2）形如abi(a,bR)的数叫复数，记作abiC.

zabi(a,bR)Z(a,b)a

①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；

b0zR,Z点组成实轴；b0,z叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括

b0a0

原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.

ac

②两个复数abi,cdi(a,b,c,dR)相等（两复数对应同一点）

bd



③复数的模：复数abi(a,bR)的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为

OZOZ

222222

|z||abi|ab，显然，|z||abi|ab,zzab.

二.基本性质

1、复数运算

（1）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

222

(abi)(abi)zzab|z|



22

(注意z|z|)



zz2a



22

其中|z|ab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(a,bR).

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i22

（3）22(cd0).

cdi(cdi)(cdi)cd

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.

2、复数的几何意义

（1）复数zabi(a,bR)对应平面内的点z(a,b)；



（2）复数zabi(a,bR)对应平面向量；

OZ

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.

zabi(a,bR)|z|z(a,b)