人教A版高中数学(必修第二册)同步讲与练第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（解析版）.doc

第08讲6.3.5平面向量数量积的坐标表示

课程标准

学习目标

①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。

1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；

2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题；

知识点01：平面向量数量积的坐标表示

在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示

已知非零向量，

（1）．

（2）

【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则.

【答案】

【详解】因为，所以，故.

故答案为：-5

知识点03：向量模的坐标表示

（1）向量模的坐标表示

若向量，由于，所以．

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．

【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（????）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以，解得，所以，所以．

故选：C．

（2）两点间的距离公式

已知原点，点，则，于是．

其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．

（3）向量的单位向量的坐标表示

设，表示方向上的单位向量

知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示

已知非零向量，是与的夹角，则．

【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为．

【答案】/0.5

【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.

故答案为：

题型01平面向量数量积的坐标表示

【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（????）

A．6 B．-6 C．3 D．-3

【答案】B

【详解】正六边形中，每个内角都是，，有，

以为原点，为轴，为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：

因为，，，则有，

所以，，，

，，

由平面向量数量积的运算可得.

故选：B．

【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则

【答案】0

【详解】∵，，∴，

∴.

故答案为：0.

【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，则由题意可得，

解得，

所以，

故选：D

【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则.

【答案】

【详解】如图，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（），

则，

，

，所以（负值舍去），

即有，

故答案为：.

题型02向量垂直的坐标表示

【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由.

因为，所以．

故选:A.

【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则．

【答案】9

【详解】，，则，，

，则，解得.

故答案为：

【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则．

【答案】

【详解】，则，

由，所以，解得．

故答案为：

【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（????）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【详解】，，，

解得.

故选：A.

题型03利用向量的数量积求参数

【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

，

即，解得，

，解得．

故选：D

【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数．

【答案】0

【详解】由题意可得，

故，

即，

故答案为：0

【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则．

【答案】

【详解】因为，则，即，

整理可得，

又因为向量，，则，解得.

故答案为：.

【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为

因为，所以,即是的中点，

所以

所以，由题知.

故

故选：D

题型04向量的投影

【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在