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其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

同济大学高等数学上册第七章常微分方程

同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第

七章是关于常微分方程的内容。常微分方程是数学中的一个重要分支，

广泛应用于物理、化学、经济等领域。掌握常微分方程的基本理论和

解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。

本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性

微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线

性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系

数非齐次方程等。

一、一阶常微分方程

一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。例如，

dy/dx=f(x)。

常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。其

中分离变量法是常用的解法之一。分离变量法的基本思想是将方程两

边的变量分离开来，从而达到求解的目的。

二、高阶常微分方程

高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。例如，

d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)。

高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。常系

数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

三、一阶线性微分方程

一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相

关的方程。例如，dy/dx+p(x)y=q(x)。

一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。积分因子的

选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的

形式。

四、可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的

方程。例如，dy/dx=f(x)/g(y)。

可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然

后进行适当的积分得到。这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方

程。

五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程

齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐

次线性关系的微分方程。一阶齐次线性方程是齐次线性微分方程的特

殊情况。

齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程的求解可以采用变量代换和

分离变量的方法。变量代换的目的是将齐次线性微分方程中的未知函

数和自变量变换为新的变量，使方程变为可分离变量的形式。

六、一阶齐次线性非齐次方程

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

一阶齐次线性非齐次方程是指齐次线性方程的解加上非齐次线性方

程的特解，构成整个方程的解。

一阶齐次线性非齐次方程的求解可以采用叠加原理，将齐次方程的

解和非齐次方程的特解相加得到。

七、二阶常系数齐次线性方程和常系数非齐次方程

二阶常系数齐次线性方程和常系数非齐次方程是二阶线性微分方程

的特殊情况。

二阶常系数齐次线性方程的求解可以采用特征方程的方法。通过求

解特征方程的根得到齐次方程的通解。

常系数非齐次方程的求解可以采用待定系数法。假设非齐次方程的

特解具有一定的形式，代入方程求解未知系数。

总结：

同济大学高等数学上册第七章常微分方程的内容主要包括一阶常微

分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程