专题16 圆锥曲线的综合应用（题型 易错）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）（原卷版）.docx

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专题16圆锥曲线的综合应用

【考点1直线与椭圆的位置关系判断】

【考点2根据直线与椭圆位置关系求参】

【考点3直线与椭圆相切的应用】

【考点4直线与椭圆相交弦长问题】

【考点5直线与双曲线的位置关系判断】

【考点6根据直线与双曲线位置关系求参】

【考点7直线与双曲线相交弦长问题】】

【考点8直线与抛物线的位置关系】

【考点9抛物线的焦点弦及应用】

【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】

知识点1直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置判断

设直线方程为，椭圆方程为

联立消去y得一个关于x的一元二次方程

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2、直线与椭圆相交的弦长公式

（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

（2）求弦长的方法

=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则弦长公式为：

知识点2直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系判断

将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程

，

（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；

（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，

若，直线与双曲线相交，有两个公共点；

若，直线与双曲线相切，有一个公共点；

若，直线与双曲线相离，没有公共点；

注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.

2、直线与双曲线弦长求法

若直线与双曲线（，）交于，两点，

则或（）．（具体同椭圆相同）

知识点3直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，

若，直线与抛物线有两个交点；

若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率存在.

设直线，抛物线，

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

即二次方程（或）解的个数.

①若，

则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.

3、直线与抛物线相交弦长问题

（1）一般弦长

设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.

=1\*GB3①弦长公式：（为直线的斜率，且）.

=2\*GB3②,

推导：由题意，知，①②

由①-②，得，故，即.

=3\*GB3③直线的方程为.

（2）焦点弦长

如图，是抛物线过焦点的一条弦，

设，，的中点，

过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，

根据抛物线的定义有，，

故.

又因为是梯形的中位线，所以，

从而有下列结论；

=1\*GB3①以为直径的圆必与准线相切.

=2\*GB3②(焦点弦长与中点关系)

=3\*GB3③.

=4\*GB3④若直线的倾斜角为，则.

=5\*GB3⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.

=6\*GB3⑥为定值.

【考点1直线与椭圆的位置关系判断】

【典例1】已知两定点M?1,0，N1,0，直线l：y=?2x+3，在l上满足PM+PN=4

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式1-1】直线xa+yb=1

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【变式1-2】若直线ax+by?1=0与圆O:x2+y2=1相离，则过点

A．0或1 B．0 C．1 D．2

【变式1-3】直线y=kx+1?k与椭圆x29+

【考点2根据直线与椭圆位置关系求参】

【典例2】设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab0的弦AB与x轴，y轴分别交于C，

A．0,33 B．33,1 C．

【变式2-1】已知椭圆C:x2+y22=1，直线l:y=x+m，若椭圆C

A．?23,23 B．?2

【变式2-2】直线y=kx+1与椭圆x25+y2

A．m1 B．m0

C．m≥1且m≠5 D．0m5且m≠1

【变式2-3】已知t∈R，若关于x的方程1?2x2=x+t有两个不相等的实数根，则t

A．22,6

C．22,2

【考点3直线与椭圆相切的应用】

【典例3】已知椭圆C：x2a2+y2=1a1的离心率为255，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F，当AB垂直

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