专题05 复数 平面向量(十大题型) -2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）（原卷版）.docx

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专题05复数平面向量(十大题型)

TOC\o1-1\h\u题型01复数的有关概念 1

题型02复数的模 2

题型03实系数一元二次方程 2

题型04复数与其他模块 2

题型05平面向量的有关概念 2

题型06平面向量的运算、基本定理 3

题型07平面向量的简单应用 3

题型08平面向量与平面解析几何 4

题型09平面向量的其他应用 5

题型10平面向量难点分析 5

【解题规律·提分快招】

1、解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

2、利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．

(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

3、(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cosθ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法．

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

题型01复数的有关概念

【典例1-1】．设，若存在复数满足（为虚数单位），则．

【典例1-2】．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数.

【变式1-1】．对于复数（i是虚数单位），则.

【变式1-2】．若复数满足（为虚数单位），则.

【变式1-3】．复数z满足，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．

题型02复数的模

【典例2-1】．已知复数，，，若为纯虚数，则．

【典例2-2】．设复数满足，则.

【变式2-1】．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为．

【变式2-2】．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则．

【变式2-3】．已知复数和复数满足（为虚数单位），则.

题型03实系数一元二次方程

【典例3-1】．已知，方程一个虚根为，则.

【典例3-2】．已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则.

【变式3-1】．已知方程的一个根是（是虚数单位），则．

【变式3-2】．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为.

【变式3-3】．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型04复数与其他模块

【典例4-1】．设复数与所对应的点为与，若，，则.

【典例4-2】．设复数（i为虚数单位）且，若，则．

【变式4-1】．已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式4-2】．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为.

【变式4-3】．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是.

题型05平面向量的有关概念

【典例5-1】．已知向量，，若，则．

【典例5-2】．已知平面向量，满足，则．

【变式5-1】．已知向量，则在方向上的数量投影为．

【变式5-2】．已知向量，若，则实数．

【变式5-3】．已知向量，的夹角为，且，，则.

题型06平面向量的运算、基本定理

【典例6-1】．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是.

【典例6-2】．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（????）

A． B． C． D．

【变式6-1】．在平行四边形中，，．若，则．

【变式6-2】．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则．

【变式6-3】．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为