期中难点特训（1）旋转综合压轴题（解析版）.pdf

期中难点特训（一）旋转综合压轴题

1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C90°．若固定△ABC，

将△DEC绕点C旋转．

（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．

①当∠B∠E30°时，此时旋转角的大小为；

②当∠B∠Eα时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．

（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积

相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理

由．

【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．

【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．

②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD2∠B即可解决问题．

（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明

△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．

【详解】解：（1）①∵∠B30°，∠ACB90°，

∴∠CAD90°﹣30°60°．

∵CACD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD60°，

∴旋转角为60°．

故答案为：60°．

②如图2中，作CH⊥AD于H．

第1页共26页.

∵CACD，CH⊥AD，

∴∠ACH∠DCH．

∵∠ACH+∠CAB90°，∠CAB+∠B90°，

∴∠ACH∠B，

∴∠ACD2∠ACH2∠B2α，

∴旋转角为2α．

故答案为：2α．

（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：

过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，

∵∠ACB∠DCE90°，

∴∠1+∠290°，∠3+∠290°，

∴∠1∠3．

∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，

∴∠BNC∠EMC90°．

∵△ACB≌△DCE，

∴BCEC，

在△CBN和△CEM中，

∠BNC∠EMC，∠1∠3，BCEC，

∴△CBN≌△CEM(AAS)，

∴BNEM．

第2页共26页.

11

∵SBDC•CD•BN，SACE•AC•EM．

△△

22

∵CDAC，

∴SBDCSACE．

△△

【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的

性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

．在平面直角坐标系中，为原点，点，，点，，把绕点逆时针旋转，得ABO，

2OA(40)B(03)ABOB

O

点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．

AOAα

如图①，若＝，求的长；

(1)α90°AA

O

如图②，若＝，求点的坐标；

(2)α120°

POPP

(3)在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点

的坐标（直接写出结果即可）

【答案】(1)52

339

(2)(，)

22

6327

(3)(，)

55

【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，

则可判定△ABA′为等腰直角三角