专题18 旋转模型之费马点型（解析版）.pdf

专题18旋转模型之费马点型

1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时

该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，

此时APBBPCCPA120，PAPBPC的值最小．

(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求APB

的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，连接PP，此

时ACP≌ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从

PAPBPC

而求出APB．

______

(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使ADAP，

DAEPAC，求证：BEPAPBPC．

如图，在直角三角形中，ABC90，ACB30，AB1，点为直角三角形

(3)4ABCPABC

的费马点，连接，，，请直接写出PAPBPC的值．

APBPCP

【答案】(1)150°

(2)见解析

(3)7

【分析】（）由全等三角形的性质得到＝＝、＝＝，∠＝∠，再根据旋转

1AP′AP3CP′BP4AP′CAPB

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性质，证明为等边三角形，为直角三角形，最后由∠＝∠＝∠＋∠

△APP′△PP′CAPBAP′CAP′PPP′C

解答；

（2）由费马点的性质得到APB120，APD60，再证明APC≌ADE(ASA)，由全等三角

形对应边相等的性质解得PCDE，最后根据线段的和差解答；

（）将绕点顺时针旋转至处，连接，由勾股定理解得，由旋转的

3△APBB60°△A′P′BPP′BC3

性质，可证明是等边三角形，再证明、、、四点共线，最后由勾股定理解答．

△BPP′CPA′P′

（1）

解：∵ACP≌ABP，

∴＝＝、＝＝，∠＝∠，

AP′AP3CP′BP4AP′CAPB

由题意知旋转角∠＝，

PAP′60°

∴△APP′为等边三角形，

PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，

由旋转的性质可得：＝＝，＝，，

AP′APPP′3CP′4PC5

∵222

3+45

∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；

故答案为：；

150°

（）

2

证明：∵点P为△ABC的费马点，

∴APB120，

∴APD60，

又∵ADAP，

∴APD为等边三角形

∴APPDAD，PADADP60，

∴ADE120，

∴ADEAPC，

PACDAE



在△APC和△ADE中，