精品解析：北京市第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（解析版）.docxVIP

北京二中2024—2025学年高三年级12月月考

数学

命题人：周长春、王逸飞审核人：王逸飞、周长春

一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）

1.设集合，，则（）

A. B.x0≤x2 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出集合中的不等式，得到这两个集合，由并集的定义求.

【详解】，又，

所以.

故选：A

2.已知（i为虚数单位），则的虚部为（）

A B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出，再求出的虚部.

【详解】依题意，，

所以的虚部为.

故选：A

3.在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则正实数的值为（）

A.1 B. C. D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可先借助待定系数法计算出圆方程，再借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得解.

【详解】设，圆半径为，

则有，解得，

即圆的方程为，

由直线被圆截得弦长为，

则有，即，解得，

又正实数，故.

故选：C.

4.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）

A. B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，将问题转化为点P到点的距离与点P到准线距离之和的最小值，再利用抛物线的定义求解即得.

【详解】抛物线的焦点，准线，

过作于，交于点，则，，

记点为，于是，

当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号，

所以点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为2.

故选：2

5.在中，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为，

所以由正弦定理得，即，

则，故，

又，所以.

故选：B.

6.若(3-x)(1+2x)10＝a0＋a1x＋…＋a11x11，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a11·311的值为（）

A.39 B.39－1 C.0 D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】应用赋值法可知，由二项式展开项的通项公式可求，即可求的值.

【详解】时，由知：，而，

∴

故选：D

7.设，均为单位向量，则“”是“”的（）条件.

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数量积的运算律判断即得.

【详解】向量，均为单位向量，若，则，，

，因此；

若，则，

即，整理得，因此，

所以“”是“”的充分必要条件.

故选：C

8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（）

A.10 B.8 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，把楔体分成一个三棱柱和两个四棱锥，即可求解.

【详解】根据题意，分别过点，作平面的垂直平面，则可以把楔体分成一个三棱柱和两个四棱锥.

三棱柱的体积(立方丈)，

四棱锥的体积(立方丈)，

故楔体的体积(立方丈).

故选：D.

9.已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（）

A.2 B.1 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

【详解】以向量的起点为原点，以为轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则，设，，

则由与的夹角为得，得，，

由得，

所以点在直线上，点在圆上，

又，

因此，等于点到点的距离，

圆的圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相离，

因此的最小值为圆心2,0到直线的距离减去半径1，

即为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

10.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得在有零点，利用导数研究函数的性质进而可得，即得.

【详解】原问题等价于在有零点，

而，

∴，单调递减，，单调递增，

又，

由可判断，

因而的值域为，

又