专题五 相似三角形的存在性（解析版）.pdfVIP

专题五相似三角形的存在性

考点归纳

1．相似判定：

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当

的判定方法，解决问题．

2．思路总结：

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，

对比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法

可优先考虑思路1．

【小结】搞定相似存在性问题，需解决好以下两个问题：

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

典例剖析＋巩固训练

2

【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，

2

0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点Q是抛物线y＝ax+bx+c上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）（，﹣2）或（﹣，2）或（，

）或（，）

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解

得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（3）∵OB＝OC＝3，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：

①当∠ACB＝∠BOQ时，

AB＝4，BC＝3，AC＝，

过点A作AH⊥BC于点H，

S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，

则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，

则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，

联立①②并解得：x＝或﹣，

故点Q（，﹣2）或（﹣，2），

②∠BAC＝∠BOQ时，

tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，

则点Q（n，﹣3n），

则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，

联立①③并解得：x＝，

故点Q（，）或（，）；

综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或

（，）或（，）．

2

【变式训练】（2020•准格尔旗三模）如图，抛物线y＝ax+bx+2与x轴交于点A（﹣1，

0）、B（4，0）两点，与y轴交点C，连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E，

交BC于点F，顶点为M．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PEB与△BOC相似，求点P的坐标；