2025年中考数学复习---垂线相关的辅助线 方法讲解及巩固练习.docx

垂线相关的辅助线

典例精析

【典型题1】★·如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.

【思路分析】思路一(正向推导法)：从题目条件分析，EF是AC的垂直平分线，因此连接AF,可得AF=FC,即将要证明BF=2CF转化为证明BF=2AF，再由已知角度容易得出∠B=30°,∠BAF=90°,可得BF=2AF.

思路二(逆向分析法)：从结论出发分析，要证明BF=2CF，自然想到应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这条性质,再从题目条件“AB=AC,∠BAC=120°”求出∠B=∠C=30°,从而连接AF构造Rt△BAF,又根据中垂线定理可得AF=CF,问题得证.

【答案解析】解：连接AF，

∵AB=AC,∴∠B=∠C;

又∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=60°

∴∠B=∠C=30°,

∵EF垂直平分AC∴FA=FC,

∴∠FAC=∠C=30°,

又∵∠BAC=120°,

∴∠BAF=120°-30°=90°,

∵∠B=30°∴BF=2AF,

∵FA=FC∴BF=2CF.

【规律总结】辅助线作法：方法①：垂直平分连两端.方法②：构造特殊三角形.

【典型题2】★★★如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=62,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为.

【思路分析】本题比较难，需从题目条件入手分析，正向推导，作垂线构造直角三角形.注意需分点F在点D的两侧分类讨论.

注：本题同学们也可尝试其他方法，比如过点F作BF的垂线(或者DG的平行线，道理相同，目的是构造直角三角形).

【答案解析】解：如图，当点F在点D的右侧时,过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T,过点B作BH⊥DT于H.

∵DG⊥BF,BT⊥BF,∴DG//BT,

∵AD=DB,AE=EC,∴DE//BC,

∴四边形DGBT是平行四边形，

∴BG=DT,DG=BT,

∠BDH=∠ABC=45°,

∵AD=DB=3

∵∠TBF=∠BHF=90°,

∴∠TBH+∠FBH=90°,

∵∠FBH+∠F=90°,

∴∠TBH=∠F,

∴

∴

∴TH=1,∴DT=TH+DH=1+3=4,

∴BG=DT=4.

当点F在点D的左侧时，如下图，同法可得MD=BG=3-1=2(同学们自行写出过程).

巩固练习

【巩固练习1】

如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是.

【巩固练习2】

已知△ABC与△ABD在同一平面内,点C,D不重合,∠ABC=∠ABD=30°,AB=4,AC=AD=22,,则CD长为

【巩固练习3】

如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是AD边上的一点,AM:MD=1:2.将△BMA沿BM对折至△BMN,连接DN,则DN的长是()

A.5

B.9

C.3

D.

【巩固练习4】

如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°,过点D作.DE⊥AB于E,若.DE=BE.

(1)求证:DA=DC;

(2)连接AC交DE于点F,若∠ADE=30°,AD=6,求DF的长.

【巩固练习5】

在△ABC中,∠ACB=90°,分别过点B,C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME.则下列结论错误的是()

A.CD=2MEB.ME//AB

C.BD=CDD.ME=MD

【巩固练习6】

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=25边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD,BE.

(1)求证:△ACD?△BCE;

(2)当点D在.△ABC内部，且∠ADC=90°时,设AC与DG相交于点M,求AM的长;

(3)将正方形DEFG绕点C旋转一周,当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长.

【巩固练习7】

[问题提出]如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F,线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系?

[问题探究