专题12 基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题）（题型 易错）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）（解析版）.docx

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专题12基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题）

【考点1基本立体图形】

1．已知SO1=2，底面半径O1A=4的圆锥内接于球O，则经过S和O

A．252π B．253π C．

【答案】A

【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.

【详解】如图，

设球O的半径为R，线段O1A的中点为E，因为

所以42+(R?2)

设经过S和O1A中点E的平面截球O所得截面圆的圆心为O2，半径为r，球心O

则r2=R2?

因为当d为点O到SE的距离时最大，此时d?SE=SO?EO1，又

所以d=SO?E

所以r2

故截面面积的最小值为πr

故答案为：252π．

故选：A

2．已知某圆台的母线长为22，母线与轴所在直线的夹角是45°，且上、下底面的面积之比为1:4，则该圆台外接球的表面积为（

A．40π B．64π C．80π

【答案】C

【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积．

【详解】如图：上，下底面圆心分别为M,N，外接球球心为O，

连接OC,OB如图所示：

因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为1:2，即CN＝

又母线与轴所在直线的夹角是45°,故∠BCN=45°，结合BC=2

则有CN?BM=2,MN=2，故CN=4,BM=2,MN=2

记圆台外接球半径为R,OM=?，

在直角△OCN和直角△OBM中由勾股定理知：OM

则有?2+2

故圆台外接球的半径R2

则该圆台外接球的表面积S=4π

故选：C．

3．已知球O半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若OO1=3，O

A．3 B．433 C．3+3

【答案】D

【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定理求解即可.

【详解】设圆O1与圆O2公共弦为AB，其中点为

则O1A=

所以O1E=

所以在Rt△OO1E中，

在Rt△OO2E中，

所以在△O1EO2

故选：D.

4．已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为93π，则圆锥的高为（

A．3 B．23 C．32

【答案】D

【分析】设圆锥的底面圆半径为r，用r表示高的长，由圆锥体积求得r的值，继而得高.

【详解】设圆锥的底面圆半径为r，因圆锥轴截面为正三角形，故圆锥的高即32

于是有13πr2×

故选：D.

5．在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为π2，则该圆锥的外接球的表面积为（????

A．32π B．64π3 C．256π15

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径.

【详解】设圆锥底面圆半径为r，依题意，2πr=π

圆锥的高PO=PA2?r2=

设球O1的半径为R,OO1=x．连接

得15?x=x2+1，解得

所以该圆锥的外接球的表面积S′

故选：C

6．已知球O与圆台O1O2的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1、r2，且2r1

A．13 B．27 C．23

【答案】D

【分析】设球O的半径为R，利用球与圆台相切得R2=r1r2和圆台

【详解】

??

因为球O与圆台O1

圆台上下底面半径分别为r1、r2，且

由切线长定理有圆台O1O2

设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为A，下右端点为B，

过点A作AA1⊥BO2于A1，则圆台

则由勾股定理有r1+r

因为球O与圆台O1O2的体积分别为V

所以V1

因为2r1≤

令r1r2=t，y=t+1t+1

当r1r2=1

所以V1V2

故选：D.

7．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M为CC

【答案】π

【分析】设BD，AC交于Q，作OH⊥QM于H，证明OH⊥平面BMD，所求截面为以H为圆心的小圆，求圆的面积即可.

【详解】如图：

设BD，AC交于Q，作OH⊥QM于H，

在正方体ABCD?A

AA1⊥平面ABCD，BD?

所以AA1⊥BD，又BD⊥AC

所以BD⊥平面ACC1A1，

所以BD⊥OH，又OH⊥QM，BD∩QM=Q，且两直线在平面BMD内，

所以OH⊥平面BMD，

在Rt△OQM中，求得OH=23

半径为r=1?23

故答案为：π

8．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为20π3，则该圆锥内部最大球的半径为

【答案】1

【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，作出圆锥轴截面，设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为r，然后利用三角形相似可求得结果.

【详解】设母线长为l，依题意12l×2π

所以圆锥的高为?=10

作出圆