《大学文科数学》课件第10章.pptVIP

例10.2.8在区间［０，４］上任投一点，求此点落入区间（1，2）内的概率．

解因必然事件S就是区间［0，4］，故按几何概率的定义可得所求概率例10.2.9甲、乙两人相约８至12点在预定地点会面，

先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲、乙两人能会面的概率．

解以X、Y分别表示甲、乙两人到达的时刻，那么8≤X≤12，8≤Y≤12．若以（X，Y）表示平面上的点的坐标，则所有基本事

件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：8≤X≤12、8≤Y≤12内的所有点表示出来．两人能会面的充分必要条件是|X－Y|≤1/2（图10.2.1中阴影部分），所以所求的概率为图10.2.110.3条件概率

10.3.1条件概率

例10.3.1某师范大学教育系一年级共有学生100人，其中女生80人，来自甲省的40人中有女生35人.设事件A为从全年级学生中任抽取一人为女生，事件B为从全年级学生中任抽取一人来自甲省，求从来自甲省的学生中任抽取一人为女生的概率.解显然P(A)=0.8，P(B)=0.4,而P(A|B)=35/40≠P(A)，即附加条件B之后，A的概率发生了变化，而定义10.3.1设A、B是两个事件，且P(B)0，称10.3.2乘法公式

定理10.3.1（乘法公式）设P(A)0，P(B)0，则有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

利用这个公式可以计算积事件的概率．乘法公式可以推广到n个事件的情形：若n≥2，P(A1A2…An－1)0，则

例10.3.3两个学生依次从10道试题中各抽取一题口试，设抽到每道题是等可能的.如果第一个学生把抽到的题放回去，第二个学生再抽，求两个学生都抽到试题1的概率.

解设第i个学生抽到试题1的事件为Ai(i=1,2)，则两个学生都抽到试题1的事件为A1A2．由乘法公式得

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)由于抽取方式是有放回的，因此第二个学生抽到试题1的概率不受第一个学生是否抽到试题1的影响，即故定义10.3.2(事件的独立性）设A、B是两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立．

定理10.3.2设事件A、B相互独立，且P(AB)0，则

P(A|B)=P(A)．例10.3.4两门高射炮彼此独立地射击一门敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率．解设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么，{敌机被击中}=A∪B.因为A与B相互独立，所以有10.3.3全概率公式和贝叶斯公式

1.全概率公式

定理10.3.4（全概率公式）若A1,A2,…,An为样本空间

S的一个事件组，且满足：

（1）A1,A2,…,An两两互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,…,n);

（2）A1∪A2∪…∪An=S,则对S中的任意一个事件B都有

例10.3.5某厂有四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别占该厂总产量的15％、20％、30％、35％,又知这四个分厂的次品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02,现从该厂产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率为多少？解令B为任取一件为次品，Ai为任取一件为第i个分厂生产的产品（i=1,2,3,4），则由全概率公式得=0.0315=3.15％2.贝叶斯公式

设B是样本空间S的一个事件，A1,A2,…,An为S的一个事件组，且满足：

（1）A1,A2,…,An互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,…,n);

(2)A1∪A2∪…∪An=S,

则例10.3.6在例10.3.5中，若该厂规定，出了次品要追究有关分厂的责任.现在从生产产品中任取一件发现为次品，但该件产品是哪一分厂生产的标志已脱落，问厂方如何处理这件次品较为合理？换句话说，哪个分厂的责任应该较大？解从概率的角度考虑，显然按P(Ai|B)的大小追究各分厂的责任较为合理.由条件概率定义以及全概率公式可知如若考虑第4分厂应承担的责任，则即第4分厂应承担2