专题训练08 特殊三角形中常见辅助线的作法（解析版） .pdfVIP

专题训练八：特殊三角形中常见辅助线的作法

◆◆类型一：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线

◎◎◎技巧点拨：遇等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将

其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.

●●【典例一】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：

DE⊥AB．

【分析】过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠ACB＝2∠ACM，由三角形外角的

性质及等边对等角的性质得出∠ACB＝2∠D，则∠ACM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥CM，进而得到

DE⊥AB．

【解答】证明：如图，过C作CM⊥AB于M，

∵CA＝CB，

∴∠ACB＝2∠ACM，

∵CD＝CE，

∴∠D＝∠CED，

∴∠ACB＝∠D+∠CED＝2∠D，

∴∠ACB＝2∠ACM＝2∠D，

∴∠ACM＝∠D，

∴DE∥CM，

∵CM⊥AB，

∴DE⊥AB．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作

出辅助线是解题的关键．

◆变式1：（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，

CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．

【分析】连接CD，证得△ECD≌△FCD，得出∠CDF＝∠CDE，利用等腰三角形的“三线合一”得出

∠CDA＝∠CDB＝90°，进一步求得结论即可．

【解答】证明：如图，

连接CD，

在Rt△ECD和Rt△FCD中，

=

=，

∴Rt△ECD≌Rt△FCD，

∴∠CDF＝∠CDE，

∵CA＝CB，D是AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∴∠ADF＝∠BDE．

【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的

关键．

1

◆变式2：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝

2

∠B．

【分析】过A作AF⊥BC于点F，可证明△ABF≌△ACE，可证明结论．

【解答】证明：

如图，过A作AF⊥BC于点F，

∵AB＝AC，

∴BF＝CF，

1

∵CE=BC，

2

∴BF＝CE，

∵CE⊥AE，

∴∠AFB＝∠AEC＝90°，

在Rt△ABF和Rt△ACE中

=

=

∴Rt△ABF≌Rt△ACE（HL），

∴∠ACE＝∠B．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件构造三角形全等是解题的关键．

◆◆类型二：利用作平行线构造等腰三角形

◎◎◎技巧点拨：利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；作腰的平行线构造等腰三角

形；作边的平行线构造等腰三角形.

●●【典例二】如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交BC与点D．交AC的延长线于点F，

且BE＝CF．求证：DE＝DF．

【分析】作EG∥AC交BC于G，就可以得出∠BGE＝∠ACB，∠GED＝∠F，∠EGD＝∠FCD，就可以得出

△GED≌△CFD，就可以得出结论．

【解答】证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，

则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠BGE，

∴BE＝GE，

又∵BE＝CF，

∴GE＝CF，

∵在△CDF和△GD