1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件（共22张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册.pptxVIP

1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数

学习目标已知角α终边上的一点，会求sinα，cosα的值02借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义01

情境导入如果将水车边缘看成一个圆，如何确定水车边缘上的点呢？水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史．?可以建立直角坐标系确定水车边缘上的点．

知识回顾在初中我们是如何定义锐角α的正弦函数和余弦函数的？如图，OMPabcα在直角△OPM中，sinα＝，cosα＝．

?xOMyP(u,v)1α这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？??

定义如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sinα为任意角α的正弦函数，u＝cosα为任意角α的余弦函数.xyOA(1，0)PαM

例1已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值.解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况，设角α的终边与单位圆交于点P(如图)，则点P的坐标为(cosα，sinα)，且OP＝1.点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝.xyOPαQ分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M，N，NM易知△POM∽△QON，所以，即，

例1已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值.xyOPαQNM因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.同理.于是得到，

r利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则???

(1)sinα，cosα是一个整体符号，代表角的一种比值，不能将它们分离开来，单独的“sin”毫无意义，也不能把“sinα”当成“sin”与“α”的乘积.知识剖析(2)对任意一个给定的角α，它只有一条终边，从而终边与单位圆只有一个交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的.设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则??r(3)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点Q在终边上的位置无关.

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??xyOP(u,v)αM?

思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表.α001???1?????0??

思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表.απ2π0??－1??001??－1????

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