专题4.4 辅助圆定点定长（题型专练）（解析版）.pdf

专题4.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

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【典例1】（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识

解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠

BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A

的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点

G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

BDCBAC45

∴∠＝∠＝°，

故答案为：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴点A、B、C、D共圆，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝25°，

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（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1+∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

OHAOAB1

则＝＝＝，

在Rt△AOD中，OD＝＝＝，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值＝OD﹣OH＝﹣1．

HRtAHBABOHD

（解法二：可以理解为点是在△，直径的半圆上运动当、、三点共线时，

DH长度最小）

故答案为：﹣1．

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【变式1-1】如