人教A版高中数学(必修第二册)导学案6.4.3余弦定理、正弦定理（第3课时）（解析版）.docVIP

《6.4.3余弦定理、正弦定理》

第3课时余弦定理正弦定理应用举例

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题】对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.

（二）余弦、正弦定理应用举例

1.实际应用问题中的专用名词与术语：

（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

3.三角形的面积公式：

(1)在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则

①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；

②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.

(2)三角形面积公式的其他形式：

①S△ABC＝eq\f(abc,4R)，其中R为△ABC的外接圆半径；

②S△ABC＝2R2sinAsinBsinC，其中R为△ABC的外接圆半径；

③S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径；

④S△ABC＝eq\r(p?p－a??p－b??p－c?)，其中p＝eq\f(a＋b＋c,2).

拓展：三角形中有关边和角的常用性质：

(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；

(2)在△ABC中，ab?AB?sin_Asin_B；

(3)在△ABC中，a＋bc，b＋ca，c＋ab.

(4)在△ABC中，A为锐角?cosA0?a2b2＋c2；A为直角?cosA＝0?a2＝b2＋c2；A为钝角?cosA0?a2b2＋c2.

【做一做】1.B2.B

（三）典型例题

【例1】解在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3).

在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，

在△CBD中，由正弦定理得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝2sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).

在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，

∴AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°

＝5＋eq\r(3)－(3eq\r(2)＋eq\r(6))(6?24)

＝5，

∴AB＝eq\r(5).故两目标A，B间的距离为eq\r(5)千米.

【巩固练习1】解析设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后到C处，如图所示.

∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，

∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.

在△ABC中，由正弦定理，可得AC＝eq\f(BCsin∠ABC,sin∠BAC)＝eq\f(45,\f(\r(3),2))×eq\f(1,2)＝15eq\r(3).

即船与灯塔的距离是15eq\r(3)km.故选A.

答案A

【例2】解如图所示，在△ADB中，AB＝150eq\r(2)，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°－15°＝75°，

∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.

由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，

得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(150\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝150eq\r(3).

在Rt△ACD中，∵e