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第二十五讲圆的认识

1.(2024·湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度

数为(C)

A.60°B.75°C.90°D.135°

2.(2024·宜宾)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于(A)

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.(2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点

E,F.若∠E=54°41,∠F=43°19,则∠A的度数为(C)

A.42°B.41°20C.41°D.40°20

4.(2024·苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A=62°.

4

5.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径

5

为.

6.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则

cos∠ACB的值是.

7.如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分

别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为52.5°.

8.如图,A,B,C是☉O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C

的另一点,则∠ADC的度数是60°或120°.

9.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于点D,BC于E,连接ED.若ED=EC.

(1)求证:AB=AC.

(2)若AB=4,BC=23,求CD的长.

【解析】(1)∵ED=EC,∴∠C=∠EDC.

又∵∠B+∠ADE=180°,∠EDC+∠ADE=180°,

∴∠B=∠EDC=∠C,∴AB=AC.

(2)连接AE.∵AB是直径,

∴∠AEB=90°,∴CE=BC=.

由(1)知AB=AC,∠B=∠EDC,

又∵∠C=∠C,∴△ECD∽△ACB.

∴=,∴=,∴CD=.

10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠

BAC=40°,则∠DBC的度数为(B)

A.40°B.50°

C.60°D.70°

11.如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接

CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)

A.25°B.35°C.40°D.45°

12.(2024·宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O

+

于D,则的值为(A)

A.2B.3C.22D.23

13.如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并

延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC=80°.

14.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,那么∠BOD

的度数为144°.

15.(2024·安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线

交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.

(1)求证:CD⊥AB;

(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=