人教A版高中数学(必修第二册)导学案6.4.3余弦定理、正弦定理（第3课时）（原卷版）.docVIP

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《6.4.3余弦定理、正弦定理》

第3课时余弦定理正弦定理应用举例

导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第六章平面向量及其应用

6.4平面向量的应用

学习目标：

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题,培养数学建模的核心素养；

2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，提升数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。

2.难点：能将实际问题转化为解三角形问题。

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

余弦定理：

正弦定理：

预习——

仰角、俯角：

方向角、方位角：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8848.13米，29029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.

【问题】8848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？

（二）余弦、正弦定理应用举例

1.实际应用问题中的专用名词与术语：

（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越，测量的精确度越高．

(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在的角叫仰角，目标视线在的角叫俯角(如图①)．

(3)方位角：指从方向按转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

3.三角形的面积公式：

(1)在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则

①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；

②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.

(2)三角形面积公式的其他形式：

①S△ABC＝eq\f(abc,4R)，其中R为△ABC的外接圆半径；

②S△ABC＝2R2sinAsinBsinC，其中R为△ABC的外接圆半径；

③S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径；

④S△ABC＝eq\r(p?p－a??p－b??p－c?)，其中p＝eq\f(a＋b＋c,2).

拓展：三角形中有关边和角的常用性质：

(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；

(2)在△ABC中，ab?AB?sin_Asin_B；

(3)在△ABC中，a＋bc，b＋ca，c＋ab.

(4)在△ABC中，A为锐角?cosA0?a2b2＋c2；A为直角?cosA＝0?a2＝b2＋c2；A为钝角?cosA0?a2b2＋c2.

【做一做】1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()

A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°

2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的()

A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上

C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上

（三）典型例题

1.测量距离问题

【例1】如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq\r(3)千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，