人教A版高中数学(必修第二册)导学案7.1.2复数的几何意义（解析版）.docVIP

《7.1.2复数的几何意义》

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题1】复数与复平面内的点有一一对应关系。

【问题2】一一对应关系．

【问题3】向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模等于点Z到原点的距离．

（二）复数的几何意义

1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部。

2.复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).

【做一做】答案：D

3.复数的模

(1)定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.

(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).

【做一做】答案：C

4.共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用eq\o(z,\s\up6(－))__表示，即如果z＝a＋bi，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.

【做一做】答案：－2－5i

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)

2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)

3.复数的模一定是正实数.(×)

4.两个共轭复数关于x轴对称.(√)

5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)

（三）典型例题

【例1】解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.

(2)由题意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2m4.

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)0，

∴2m4或－5m－2.

(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5).

【巩固练习1】解：(1)要使点位于第四象限内，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋150，,m2＋3m－280，))

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m3或m5，,－7m4，))∴－7m3.

(2)要使点位于x轴负半轴上，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋150，,m2＋3m－28＝0，))

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m5，,m＝－7或m＝4，))∴m＝4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴)，需m2＋3m－28≥0，

解得m≥4或m≤－7.

【例2】解析：(1)由复数的几何意义，可得eq\o(OZ,\s\up6(→))1＝(5，－4)，eq\o(OZ,\s\up6(→))2＝(－5，4)，

所以eq\o(OZ,\s\up6(→))1＋eq\o(OZ,\s\up6(→))2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以eq\o(OZ,\s\up6(→))1＋eq\o(OZ,\s\up6(→))2对应的复数为0.

(2)由复数的几何意义，得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，

所以eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.

答案：(1)C(2)D

【巩固练习2】解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为2－i.

答案：2－i

【例3】解：(1)法一|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

法二设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条