2024-2025学年高三数学教材拓展：空间几何（原卷版）.docx

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教材拓展：立体几何与空间向量

教材挖掘拓展1：祖暅原理及其应用

教材挖掘拓展2：几个特殊多面体

教材挖掘拓展3：重要结论

教材挖掘拓展4：三余弦定理与三正弦定理

教材挖掘拓展1：祖暅原理及其应用

【链接教材】人教A版必修第二册P121探究与发现

祖暅(456年—536年)是南北朝时期伟大的数学家，在数学领域做出了突出的贡献．他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，“势”即高，“幂”即面积，后人称为“祖暅原理”，用现代语言描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

代数语言为：如图，平面α∥平面β，两个几何体T1，T2夹在α与β之间，任意平面γ∥α(或γ∥β，γ可以与α或β重合).

平面γ截T1，T2的截面面积分别为S1与S2，若S1＝S2，则VT1＝VT2.

简记为等高(势)等面(幂)等体积(容).

【应用1】我国南北朝时期著名的数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等．某工艺品(如图1)对应的立体图形是由双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1和直线y＝3及y＝－3围成的封闭图形绕y轴旋转一周后所得到的几何体(如图2)，则该几何体的体积为________．

【举一反三1】祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（）

A．B．C． D．

教材挖掘拓展2：几个特殊多面体（正四面体、正八面体、正二十面体、阿基米德体等）

思考：多面体（正四面体、正八面体、阿基米德体）如何放入正文体中？

正四面体的重要结论

(1)每个面都是正三角形的正四面体(如图1)，此正四面体的体积为正方体体积的eq\f(1,3).

(2)正四面体的外接球、内切球

若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝eq\f(\r(6),3)a，R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a，R∶r＝3∶1.R+r=h

正八面体

【应用1】（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列正确的是（）

A.该正八面体结构的外接球表面积为B.该正八面体结构的内切球表面积为

C.该正八面体结构的表面积为D.该正八面体结构的体积为

3.阿基米德体

【链接教材】P116T3阿基米德体

【应用1】（山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（????）

??A．平面B．，，，四点共面

C．点到平面的距离为

D．若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为

4.正二十面体

【应用1】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．

5.正方体重要性质：

（1）必修2P158例4（三角截面性质；正方体两三角截面平行），必修二P171例复习参考题综合运用T12（结论：体对角线垂直三角截面，垂足为截面三角的重心，两平行三角截面三等分体对角线）。

（2）正方体体对角线