全国大学数学竞赛解析几何知识培训.ppt

观察柱面的形成过程:1母线2准线31.4柱面

定义平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.4一般柱面母线准线注意：柱面的准线不唯一。21设柱面的准线为母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为且有1F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(10)从（9）（10）中消去x1,y1,z1得2F(x,y,z)=0这就是以（7）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。3已知圆柱面的轴为，例解法一母线的方向数即为轴的方向数1，－2，－2.问题也就解决了.因为圆柱面的母线平行于其轴，所以如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用前面的解法，因为空间的圆,总可以看成是某一球面与某一平面的交线.在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.点这里的圆柱面的准线圆，(0,1,-1)（1,-2,1）可以看成是(0,1,-1)为中心，以轴上的点点(0,1,-1)到已知点(1,-2,1)与过已知点且垂直于轴(1,－2,1){1，－2，－2}的交线.的距离为半径的球面的平面轴上的定点为而圆柱面上的为，所以因此到轴的距离为例1.4.1已知圆柱面的轴为点(1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。解法2：轴的方向向量为v=（1,-2,-2),M0(0,1,-1)M1(1,-2,1)即准线圆的方程为（11）再设为准线圆（11）上的任意一点，那么有且过的母线为由上四式消去参数即得所求的圆柱面的方程为即01化简整理得所求圆柱面的方程为再设为此圆柱面上的任意点，那么有02定理1.4.1在空间直角坐标系中,只含两个元(坐标)的三元方程所表示的曲面是一个柱面,它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴.平面03抛物柱面02柱面举例01010203041.5.1定义通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.那个定点叫做锥面的顶点.定曲线称为锥面的准线这些直线都叫做锥面的母线.锥面的方程是一个三元方程.F(x,y,z)=005061.5锥面准线顶点锥面是直纹面x0zy锥面的准线不惟一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.设锥面的准线为1顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：21.5.2锥面的方程设锥面的准线为顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（14）从（13）（14）中消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（12）为准线，以A为顶点的锥面方程。定理一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。1.6旋转曲面1.6.1旋转曲面定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.曲线C称为放置曲面的母线.oC纬线经线1.6.2旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：旋转轴为直线：其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。F(x,y,z)=04这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。5当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。1又由于M1在母线上，所以又有：2从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：3所以过M1的纬圆的方程为：*单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍面）。单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。01相关知识要点02