高中数学人教A版必修第二册：平面向量基本定理.ppt

6.3.1平面向量基本定理

平面向量的概念平面向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量共线定理回顾导思提出问题如果一个非零向量a与向量b共线，存在唯一的实数λ，使得b=λa.问题1：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？将平面内任意两个向量线性运算得到一个新的向量.

我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的合力.类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？情境导思提出问题

探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？OMNBAC发现:存在实数λ1和λ2使得向量a可以表示为：a=λ1e1+λ2e2.新知定思建构数学

探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？思考1给出另一个与e1，e2都不共线的a，还能这样表示吗？发现:存在实数λ1和λ2使得向量a可以表示为：a=λ1e1+λ2e2新知定思建构数学

OMN思考1给出另一个与e1，e2都不共线的a，还能这样表示吗？BAC新知定思建构数学

探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？思考1给出另一个与e1，e2都不共线的a，还能这样表示吗？思考2当a是与e1或e2共线的非零向量时，能这样表示吗？发现:存在实数λ1和λ2使得向量a可以表示为：a=λ1e1+λ2e2新知定思建构数学

O取λ2=0取λ1=0（1）a与e1共线（2）a与e2共线思考2当a是与e1或e2共线的非零向量时，a能表示为吗？O新知定思建构数学

探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？思考1给出另一个与e1，e2都不共线的a，还能这样表示吗？思考2当a是与e1或e2共线的非零向量时，能这样表示吗？思考3当a是零向量，也能这样表示吗？能，取λ1=λ2=0.即a=0e1+0e2结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2发现:存在实数λ1和λ2使得向量a可以表示为：a=λ1e1+λ2e2新知定思建构数学

探究2如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这平面内的任何一个向量吗？当e1，e2共线，λ1e1+λ2e2一定也与e1，e2共线，若向量a与它们不共线时，则无法表示.结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.新知定思建构数学

探究3现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.若还存在实数μ1、μ2使得a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2．假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾．新知定思建构数学反证法

问题2你能把上述探究发现的结果，用数学语言描述出来吗？结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2.结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.新知定思建构数学任意性、确定性

平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.新知定思建构数学

思考1零向量可以作为基底吗？零