专题04 三角函数与解三角形(十二大题型) -2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）（原卷版）.docx

专题04三角函数与解三角形(十二大题型)

TOC\o1-1\h\u题型01任意角和弧度制 2

题型02任意角的三角函数 2

题型03同角三角函数的基本关系 3

题型04三角函数的诱导公式 3

题型05三角恒等变换 3

题型06三角函数的有关概念 4

题型07三角函数图像的变换 4

题型08三角函数的求参问题 5

题型09解三角形 5

题型10解三角形—面积问题、解的个数等问题 5

题型11解三角形与平面向量、数列等 6

题型12三角函数与解三角形的实际应用 6

【解题规律·提分快招】

1、利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．

2、判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．

3、诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法：

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).

(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).

(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

6、解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

7、判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

8、平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．

题型01任意角和弧度制

【典例1-1】．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是.

【典例1-2】．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．

【变式1-1】．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为.

【变式1-2】．设是第一象限的角，则所在的象限为（????）

A．第一象限 B．第三象限

C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限

【变式1-3】．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄?决胜千里?大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则?d和所满足的恒等关系为（????）

A． B．

C． D．

题型02任意角的三角函数

【典例2-1】．若角的终边过点，则．

【典例2-2】．“”是“”的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2-1】．已知点是角终边上一点，若，则.

【变式2-2】．下面有四个命题：

①若点为角的终边上一点，则；

②同时满足，的角有且只有一个；

③如果角满足，那么角是第二象限的角；

④满足条件的角的集合为.

其中真命题的序号为.

【变式2-3】．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为．

题型03同角三角函数的基本关系

【典例3-1】．已知，则.

【典例3-2】．设为第二象限角，若，则.

【变式3-1】．若，则的