新课标2025版高考数学二轮复习第一部分基醇点自主练透第5讲计数原理与二项式定理练习理新人教A版.docVIP

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第5讲计数原理与二项式定理

一、选择题

1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪伴，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③全部参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有()

A．10种 B．40种

C．70种 D．80种

解析：选B．若Grace不参与任务，则须要从剩下的5位小孩中随意挑出1位陪伴，有Ceq\o\al(1,5)种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有Ceq\o\al(2,4)种挑法，最终剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，须要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有Ceq\o\al(2,5)种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B．

2．(2024·合肥市第一次质量检测)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的绽开式的常数项为60，则a的值为()

A．4 B．±4

C．2 D．±2

解析：选D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(ax)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)r·a6－r·Ceq\o\al(r,6)·x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r＝0，得r＝4，则(－1)4·a2·Ceq\o\al(4,6)＝60，解得a＝±2，故选D．

3．(2024·重庆市七校联合考试)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6绽开式中x2的系数为()

A．15 B．20

C．30 D．35

解析：选C．由多项式乘法知，若求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6绽开式中x2的系数，只需求(1＋x)6绽开式中x2和x4的系数．(1＋x)6绽开式中含x2和x4的项分别是Ceq\o\al(2,6)x2＝15x2和Ceq\o\al(4,6)x4＝15x4，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6绽开式中x2的系数是30.故选C．

4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()

A．4种 B．8种

C．12种 D．24种

解析：选B．将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有Ceq\o\al(1,4)种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有Ceq\o\al(1,4)×2＝8种站法，故选B．

5．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于()

A．80 B．－80

C．－160 D．－240

解析：选D．因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二项绽开式中含x项的系数为Ceq\o\al(4,5)×(－1)4×Ceq\o\al(5,5)×(－2)5＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5×Ceq\o\al(4,5)×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D．

6．(2024·广州市综合检测(一))(2－x3)(x＋a)5的绽开式的各项系数和为32，则该绽开式中x4的系数是()

A．5 B．10

C．15 D．20

解析：选A．在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得绽开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－r.当r＝1时，得T2＝Ceq\o\al(1,5)x4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Ceq\o\al(4,5)x＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的绽开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A．

7．(2024·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()

A．72 B．70

C．66 D．64

解析：选D．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有Ceq\o\al(1,2