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切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为思考与练习如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此作业P2001,2,3,4,5,6,7,82.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为运行时,点击“上册已介绍…..”,或按钮“复习”,将演示平面曲线的切线与法线方程,并自动返回.第八节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第十二章复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.1.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程说明:若引进向量函数,则?为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.解:由于例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即对应的切向量为在,故2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,?可表示为处的切向量为空间两张曲面的交则在点切线方程有或法平面方程也可表为例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量二曲面的切平面与法线01设光滑曲面方程为03在曲面上任取一条通过点M的曲线02曲线在M处的切向量04(Tangentplaneandnormallineofsurface)即通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则?在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为?在该点的切平面.?上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在?上,得令由于曲线?的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面?在点M的法向量法线方程切平面方程特别,当光滑曲面?的方程为显式曲面01时,02则在点03故当函数04法线方程05令06在点07有连续偏导数时,08切平面方程09表示法向量的方向角,法向量01用02将03法向量的方向余弦：04并假定法向量方向05分别记为06则07向上,08例3.求球面01在点(1,2,3)处的切02平面及法线方程.03解:04所以球面在点(1,2,3)处有:05切平面方程06即07法线方程08法向量09令例4.确定正数?使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有内容小结空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程切向量参数式情况.空间光滑曲线2)一般式情况.切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面01曲面?在点02法线方程03隐式情况.04的法向量05切平面方程06空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量运行时,点击“上册已介绍…..”,或按钮“复习”,将演示平面曲线的切线与法线方程,并自动返回.*
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