2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十五提升点概率统计中的交汇创新.docVIP

专题强化练（十五）提升点概率统计中的交汇创新

1．甲、乙两个学校分别有n＋1位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是eq\f(1,2)，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲校成功次数比乙校成功次数多一次”，事件B＝“甲校成功次数等于乙校成功次数”．

(1)若n＝3，求在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；

(2)证明：P(A)＝P(B).

解：(1)解：由题设知甲、乙学校分别有4位、3位同学参加活动，

P(A)＝Ceq\o\al(1,4)(1－eq\f(1,2))3·eq\f(1,2)·Ceq\o\al(0,3)(1－eq\f(1,2))3＋

Ceq\o\al(2,4)(1－eq\f(1,2))2(eq\f(1,2))2·Ceq\o\al(1,3)(1－eq\f(1,2))2·eq\f(1,2)＋

Ceq\o\al(3,4)(1－eq\f(1,2))(eq\f(1,2))3·Ceq\o\al(2,3)(1－eq\f(1,2))(eq\f(1,2))2＋

Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,2))3＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,2))3＝eq\f(35,27)，

而甲校成功次数比乙校成功次数多一次且有5位同学成功的概率为P＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,2))3＝eq\f(12,27)，

所以在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率为eq\f(P,P（A）)＝eq\f(12,35).

(2)证明：由题设知，

P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n＋1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n＋1)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)Ceq\o\al(n,n),22n＋1)，

P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(0,n＋1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n＋1)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)Ceq\o\al(n,n),22n＋1)，

因为Ceq\o\al(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n＋1)Ceq\o\al(n－k,n)，k＝0，1，2，…，n，

所以P(A)＝P(B).

2．一个袋子中有a个白球和b个黑球，从中任取1个球．若取出白球，则把它放回袋子中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补1个白球到袋子中．在重复n次这样的操作后，记袋子中白球的个数为xn.

(1)求x1的均值E(x1)；

(2)求证：xn＋1的均值E(xn＋1)＝(1－eq\f(1,a＋b))E(xn)＋1.

解：(1)解：当n＝1时，袋子中白球的个数可能是a个(即取出的是白球)，概率为eq\f(a,a＋b)；也可能是a＋1个(即取出的是黑球)，概率为eq\f(b,a＋b).

故E(x1)＝a·eq\f(a,a＋b)＋(a＋1)·eq\f(b,a＋b)＝eq\f(a2＋ab＋b,a＋b).

(2)证明：第n＋1次取球后白球的个数xn＋1分为两类：

①若第n＋1次取出来的是白球，由于白球和黑球的总个数是a＋b，这种情况发生的概率是eq\f(E（xn）,a＋b)，此时白球的个数变为E(xn).

②若第n＋1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是eq\f(a＋b－E（xn）,a＋b)，此时白球的个数变为E(xn)＋1.

故E(xn＋1)＝eq\f(E（xn）,a＋b)E(xn)＋eq\f(a＋b－E（xn）,a＋b)(E(xn)＋1)