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高等量子力学习题和解答

?量子力学中的对称性

试证明：若体系在线性变换下保持不变，则必有。这里为体系的哈密顿算符，变换不显含时间，且存在逆变换。进一步证明，若为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换，与时间无关；存在逆变换。在变换

若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程

进而有

令坐标系绕轴转角，试写出几何转动算符的矩阵表示。

解：

用矩阵表示

还可表示为

设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴转角，在此转动下，态函数由变为。试导出转动算符的表达式，并由此说明，若体系在转动下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

利用

及

可得

通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符

绕任意轴转角的转动算符为

为幺正算符

若

则必有

若哈密顿量具有旋转对称性，就有→角动量守恒

设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋。

解：矢量函数在旋转变换下

后式代入前式

又

比较得

类似可得

写成矩阵形式

其中

改写为

再令

则

若哈密顿量具有转动对称性，必有总角动量守恒

由

知→当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为１。

例：光子

证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

解：定义宇称算符

本征问题

厄米性

幺正性

?角动量理论

试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

解：轨道角动量

自旋角动量

→仍为角动量

证：

一般地若两角动量满足

则也是角动量

进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符

证明：设

即

则对于

→

定义角动量升降算符，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数，相应的磁量子数的取值范围。

解：利用升降算符可得到给定下，的全部本征函数

１）从出发

２）从出发

—指标方程及取值情况

利用和

→

→

给出角量子数情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

解：利用

设总角动量算符，、相应的角量子数分别为和，试讨论总角动量量子数的取值情况。

解：设分别是粒子1、2的角动量

有是相应的本征函数

对两粒子体系（只考虑角动量涉及的自由度），其总角动量的本征方程为

问题：１）

２）

已知是共同的正交归一完备本征函数系

→可将作展开

已知在表象中，，，问在表象中的矩阵表示是怎样的？

?二次量子化方法

给定算符，且满足，，试证：1）；的本征值只能取1和0。2）在对角化表象中，给出和的矩阵表示。

解：（1）

（2）

当为真空时，，本征值为0

，本征值为1

因为，有

所以有本征值只能取0，1

设，令，证明

解：验证

令，证明无论对玻色子还是费米子，均有

其中为量子态标记。

解：玻色子，对易关系为

费米子，对易关系为

均匀外场中质量为，所带电荷为，频率为的一维谐振子体系。引入玻色子

算符

，

试证明可将哈密顿量表成

，

并将其对角化。式中。

解：有外电场的哈密顿量为

带入

得到

式中

引入，

可以证明其对易关系为，，

可将哈密顿量表成

设新的Fock态为，则

?相对论量子力学

已知，，试在为对角的表象中建立的矩阵表示。

解：狄拉克表象中的γ-矩阵

设其中

则

有和

利用

得

得到，那么

或，那么

或，那么

对于自由电子，证明是守恒量，并求出其本征值。

中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac方程的方法，建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《