专题训练09 等腰三角形中综合问题探究（原卷版） .pdfVIP

专题训练：等腰三角形中综合问题探究

◆◆类型一：等腰三角形与角平分线、平行线的综合

●●【典例一】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过O作DE∥BC．

（1）求证：DE＝BD+CE；

（2）如图，若过A作DE∥BC，其他条件不变，探索DE、AB、AC之间有什么关系？并证明你的结

论．

◆变式1：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交

CD于点F．求证：DE＝BF．

◆变式2：（2021秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，

DE∥BC．

（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；

（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．

（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．

◆◆类型二：等腰三角形与垂直平分线的综合

●●【典例二】（2021秋•怀化期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、F分别为

AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，E、G在BC上，BC＝15cm，求EG的长度．

◆变式3：（2022春•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，

交AB于点N．

（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；

（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；

（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝度；

（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．

◆◆类型三：等腰直角三角形的综合运用问题

●●【典例三】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作

BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

◆变式4：（2022春•丰城市校级期末）如图，△ABD和△CAE是等腰直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝

90°，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求证：CD＝2BF+DE．

◆◆类型四：等腰三角形与动点运动问题

●●【典例四】（2021秋•乐陵市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M

从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从

点B、A同时出发，运动的时间为ts．

（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；

（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？

（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．

◆变式5：（2021秋•高阳县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运

动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或

“小”）；

（2）当DC＝AC时，求证：△ABD≌△DCE；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角

形．

◆变式6：（2021春•嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为

△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动

时，