高考数学全程训练计划：天天练39 选修4系列.doc

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天天练39选修4系列

1．[2019·合肥市第一次质检]已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\r(3)t))(t为参数)．在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sinθ－eq\r(3)ρcos2θ＝0.

(1)求曲线C的直线坐标方程；

(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．

解析：(1)∵sinθ－eq\r(3)ρcos2θ＝0,

∴ρsinθ－eq\r(3)ρ2cos2θ＝0,即y－eq\r(3)x2＝0.

(2)将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\r(3)t))代入y－eq\r(3)x2＝0,得eq\r(3)＋eq\r(3)t－eq\r(3)1＋eq\f(1,2)t2＝0,即t＝0,从而,交点坐标为(1,eq\r(3)),

∴交点的一个极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).

2．[2019·沈阳质检]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.

解析：(1)由题意知,直线l的普通方程为x－y＋1＝0,曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0,即x2＋(y－2)2＝4.

(2)解法一由(1)知,曲线C是以点(0,2)为圆心,2为半径的圆,圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(\r(2),2),则|AB|＝2×eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).

解法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x2＋y2－4y＝0))可取A,B两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(7),2)，\f(3＋\r(7),2))),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(7),2)，\f(3－\r(7),2))).

由两点间的距离公式可得|AB|＝eq\r(14).

解法三设A,B两点所对应的参数分别为tA,tB,

将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))代入x2＋y2－4y＝0,并化简整理可得t2＋eq\r(2)t－3＝0,

从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tA＋tB＝－\r(2)，,tAtB＝－3，))因此|AB|＝eq\r(?tA＋tB?2－4tAtB)＝eq\r(14).

3．[2018·全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程．

解析：(1)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0),半径为2的圆．

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2,故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.

经检验,当k＝0时,l1与C2没有公共点；

当k＝－eq\f(4,3)时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2,故k＝0或k＝eq\f(4,3).

经检验,当k＝0时,l1与C2没有公共点；

当k＝eq\f(4,3)时,l2与C2没有公共点．

综上,所求C1的方程为y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.

4．已知x,y,z是正实数,且x＋2y＋3z＝1.

(1)求eq\f(1,x