1.4.3诱导公式与对称 课件（共30张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册.pptxVIP

1.4.3诱导公式与对称北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数

学习目标掌握三角函数的诱导公式02利用单位圆的对称性推导诱导公式01能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式03

情境导入南京眼和广州“圆大厦”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与单位圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.

知识回顾上节课是如何定义角α的正弦函数和余弦函数的？如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sinα为任意角α的正弦函数，u＝cosα为任意角α的余弦函数.xyOA(1，0)PαM

思考：已知角α为锐角，那么角α的终边与角－α，α＋π，α－π，π－α终边的几何关系分别是什么？如果角α是任意角呢？你能通过画图说明吗？xyOαα－πxyOαπ－α关于原点对称关于y轴对称xyOαα＋πxyOα－α关于x轴对称

思考：若角α为任意角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系怎么变化呢？xyOαα＋π关于原点对称xyOαα－πxyOαπ－α关于y轴对称xyOα－α关于x轴对称

一、sinα，cosα与sin(－α)，cos(－α)的关系问题一：oxy这两个角的正弦值相反、余弦值相等因为这两个角的终边关于x轴对称，所以终边与单位圆交点坐标纵坐标相反、横坐标相等思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？??思考2：任意角α与角－α都具有类似的结论吗？

一、sinα，cosα与sin(－α)，cos(－α)的关系这两个角的正弦值相反、余弦值相等因为这两个角的终边关于x轴对称，所以终边与单位圆交点坐标纵坐标相反、横坐标相等思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？??思考2：任意角α与角－α都具有类似的结论吗？oxy?

二、sinα，cosα与sin(α±π)，cos(α±π)的关系oxy这两个角的正弦值相反、余弦值相反因为这两个角的终边关于原点中心对称，所以终边与单位圆交点坐标纵坐标相反、横坐标相反问题二：思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？??思考2：以上结论能否推广到任意角？

二、sinα，cosα与sin(α±π)，cos(α±π)的关系点P与点P关于原点对称横纵坐标互为相反数若P(u,v)，则P(－u,－v)sin(α＋π)＝－sinα，sin(α－π)＝－sinαcos(α＋π)＝－cosα，cos(α－π)＝－cosαxyOαα＋π1P(u,v)P(－u,－v)xyOαα－πP(u,v)P(－u,－v)1?

这两个角的正弦值相等、余弦值相反因为这两个角的终边关于y轴对称，所以终边与单位圆交点坐标oxy问题三：思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？??思考2：以上结论能否推广到任意角？三、sinα，cosα与sin(π－α)，cos(π－α)的关系

三、sinα，cosα与sin(π－α)，cos(π－α)的关系点P与点P关于y轴对称横坐标互为相反数；纵坐标相等若P(u,v)，则P(－u,v)sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαxyOαπ－α1P(u,v)P(－u,v)设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角π－α与单位圆的交点为P

象限角的对称oxy1、角的终边关于x轴对称2、角的终边关于y轴对称3、角的终边关于原点中心对称

思考：在学习上述公式时，如何体会轴对称、中心对称的作用?方法：第一步先从形的角度入手；第二步将形的关系代数化；第三步体会利用数形结合研究诱导公式与对称的关系.圆的对称性角与角的关系坐标间的关系三角函数的关系xyOαxyOαxyOα第二象限角变为第一象限角第三象限角变为第一象限角第四象限角变为第一象限角任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数.

思考：设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？它们的对应关系如表：相关角终边之间的对应关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称

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??任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数.???

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：负化正大化小小化锐锐求值用角α与－α