2024-2025学年高三数学解答题：新定义问题（10大题型）（解析版）.docx

解答题：新定义问题

题型一：集合的新定义问题

（24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”.

(1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）；

(2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举；

(3)若，证明：集合必为“理想集”.

【答案】(1)不是“理想集”，是“理想集”；(2)答案见解析；(3)证明见解析

【解析】（1）不是“理想集”，是“理想集”.

由题意，令，则；

令，则；令，则；

令，则；所以不是“理想集”.

令，则，所以是“理想集”.

（2）共16个“理想集”.

若，有.

当时，若，则，由可知，故或；

若，则，由可知，则，故.

故含有三个元素的“理想集”，或，共3个.

当时，，，，，，，，

共7个.

当时，，，，，，共5个.

当时，，共1个.

综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，.

（3）若，记且.

利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，

则，，，…，.

记，于是，则.

因此，矛盾.

故集合必为“理想集”.

集合新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

1．（24-25高三上·广东·月考）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.

(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由；

(3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析

(2)具有性质，理由见解析；(3)

【解析】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由如下：

当时，，，

，

因为对于任意不大于10的，都可以找到该集合中的两个元素，

使得成立，

因为可取，对于该集合中的任意一对元素，，

都有，，

故集合不具有性质，集合具有性质；

（2）具有性质，理由如下：

当时，，

，任取，其中，

因为，所以，

从而，即，故，

因为集合具有性质，故存在不大于100的正整数，

使得对于中的任意一对元素，都有，

对于上述正整数，从中任取一对元素，

其中，则有，

故集合具有性质；

（3），时，，

，集合S具有性质P，

对于，，对于中的任意一对元素，都有，

要求集合S中元素个数的最大值，

若，则剩余元素为，

此时S中元素个数为，

若，则剩余元素为，

此时S中元素个数为，

依次类推，

若，则剩余元素为，此时S中元素个数为2，

若，则中不在含有其他元素，此时S中元素个数为1，

若，则中不在含有其他元素，此时S中元素个数为1，

若，则剩余元素为1，此时S中元素个数为2，

……，

若，则剩余元素为，此时S中元素个数为，

综上，.

2．（24-25高三上·北京·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）.

(1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）；

(2)若，且对任意的，都有，求的最大值；

(3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值.

【答案】(1)或或或；(2)；(3)

【解析】（1）因为，则和的元素个数均为1，

又因为，则，

若，，则或；

若，，则或；

综上或或或.

（2）集合共有32个不同的子集，

将其两两配对成16组，

使得，则不能同时被选中为子集，故.

选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.

综上，.

（3）结论:，

令，集合符合题意.

证明如下：

①若中有一元集合，不妨设，

则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，

所以除外的子集至多有个，故.

②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类:

或，和或，

其中互不相同，互不相同且均不为1，2.

若，则，有

若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，

且互不相同，

因为中除2外至多还有2个元素，所以.

所以.

③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：

，

其中.

若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)，

所以.

若，不妨设，

则由得每个集合中都或者有4、或者有5，

又中除1外无其它公共元素，所以.

所以.

综上，.

题型二：函数与导数的新定义问题

（23-24高三上·北京·月考）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列