人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.3简单几何体的表面积和体积（第1课时）（原卷版）.docVIP

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《8.3简单几何体的表面积和体积》

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第八章立体几何初步

8.3简单几何体的表面积和体积

学习目标：

1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式，培养数学运算的核心素养；

2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，提升逻辑推理的核心素养。

学习重难点：

1.重点：通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法。

2.难点：会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积。

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

棱柱、棱锥、棱台的结构特征：

长方体、正方体的表面积和体积：

预习——

棱柱、棱锥、棱台的表面积：

棱柱、棱锥、棱台体积：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大.

问题(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？

(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？

（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

【做一做】棱长都是1的三棱锥的表面积为()

A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体

体积

说明

棱柱

V棱柱＝Sh

S为棱柱的底面积，h为棱柱的高

棱锥

V棱锥＝eq\f(1,3)Sh

S为棱锥的底面积，h为棱锥的高

棱台

V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h

S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高

【做一做1】棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.

【做一做2】设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________.

（三）典型例题

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

例1.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为eq\f(3,2)cm，求此正三棱台的表面积.

【类题通法】求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.

【巩固练习1】若正方体的棱长为eq\r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()

A.eq\f(\r(2),3) B.2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),6)

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

例2.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.

【类题通法】求几何体体积的常用方法

【巩固练习2】如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.

3.组合体的表面积与体积

例3.如图，某几何体的下部分是长?宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【类题通法】求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.

【巩固练习3】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积.

（四）操作演练素养提升

1.长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是()

A.36 B.24