人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.6.2直线与平面垂直（第1课时）（解析版）.docVIP

《8.6.2直线与平面垂直》

（第1课时直线与平面垂直的判定）

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题1】旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直

【问题2】旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。

（二）直线与平面垂直

知识点一直线与平面垂直的定义

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足。

记法：l⊥α

图示：

性质：若a⊥α，b?α，则a⊥b.

【思考】定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.

【做一做】答案：A

知识点二直线与平面垂直的判定

【探究3】容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。

（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。

（3）图形语言：

【思考1】当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.

【思考2】垂直.

【辩一辩】答案：(1)×(2)√

【做一做】【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

答案：C

知识点三直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA

斜足

斜线和平面的交点，图中点A

射影

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影

直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角

取值范围

[0°，90°]

【做一做】【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.

答案：45°45°0°

（三）典型例题

【例1】【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，

所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，

所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以AE⊥PC.

又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.

(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，所以PC⊥AG，

同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，

所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，

所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.

【巩固练习1】【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，

所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.

又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.

又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.

又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.

又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.

例2.【解】(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).

(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

【巩固练习2】【解】连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，

∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，

∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．

设正方体的棱长为a，∵E是AB的中点，EO1∥AC，

∴O1是BO的中点，∴EO1＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(