人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.6.2直线与平面垂直（第1课时）（原卷版）.docVIP

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《8.6.2直线与平面垂直》

（第1课时直线与平面垂直的判定）导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第八章立体几何初步

8.6空间直线、平面的垂直

学习目标：

1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题，培养逻辑推理的核心素养；

2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角，培养数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：直线和平面垂直的判定定理及其应用；

求直线与平面所成角。

2.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用。

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

直线与直线垂直：

空间直线与平面的位置关系：

预习——

直线与平面垂直的定义：

直线与平面垂直的判定定理：

直线与平面所成的角：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的

位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？

怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？

【问题1】如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?

【问题2】对于地面上不过点B的任意一条直线BC，旗杆AB会与之垂直吗？

（二）直线与平面垂直

知识点一直线与平面垂直的定义

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足。

记法：l⊥α

图示：

性质：若a⊥α，b?α，则a⊥b.

【思考】直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？

【做一做】直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能()

A．平行B．相交C．异面 D．垂直

知识点二直线与平面垂直的判定

【探究3】如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)

(1)折痕AD与桌面垂直吗?

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?

（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。

（3）图形语言：

【思考1】若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？

【思考2】如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()

(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()

【做一做】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()

A.平面OAB B.平面OAC

C.平面OBC D.平面ABC

知识点三直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA

斜足

斜线和平面的交点，图中点A

射影

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影

直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角

取值范围

[0°，90°]

【做一做】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

直线AB1与平面ABCD所成的角等于__________；

AB1与平面ADD1A1所成的角等于__________；

AB1与平面DCC1D1所成的角等于__________．

（三）典型例题

1.直线与平面垂直的证明

例1.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.

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