人教A版高中数学(必修第二册)导学案9.2.3总体集中趋势的估计（解析版）.docVIP

《9.2.3总体集中趋势的估计》

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题】三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.

（二）总体集中趋势的估计

知识点一平均数

(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为.在频率分布直方图中，平均数eq\x\to(x)＝，其中fi为第i个小矩形对应的频率，xi为第i个小矩形底边中点的横坐标．

(2)特征：样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数不具有的性质．所以与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，但平均数受样本中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．

【做一做】解析：eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.

答案：6

知识点二中位数

(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．

(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．

【做一做】解析：把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其中位数为14.

答案：14

知识点三众数

(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边的中点．

(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．

【做一做】答案：14

【探究1】一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(√)

2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.(×)

3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.(×)

（三）典型例题

【例1】解析：由题意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.

答案：D

【巩固练习1】解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87.

答案：C

例2.解：(1)平均数是：eq\o(x,\s\up6(－))＝4000＋

eq\f(7000＋6000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20,33)≈4000＋1333＝5333(元).

中位数是4000元，众数是4000元.

(2)平均数是eq\o(x,\s\up6(－))′＝4000＋

eq\f(26000＋16000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20,33)≈4000＋2212＝6212(元)，

中位数是4000元，众数是4000元.

(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

【巩固练习2】解：(1)甲群市民年龄的平均数为

eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.

(2)乙群市民年龄的平均数为

eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁.

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.

【例3】解：(1)由图知众数为eq\f(70＋80,2)＝75.

(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.

(3)由图知这次数学成绩的平均分为：

eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq