专题05 复数 平面向量(十大题型) -2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）（解析版）.docx

PAGE

PAGE32/NUMPAGES32

专题05复数平面向量(十大题型)

TOC\o1-1\h\u题型01复数的有关概念 1

题型02复数的模 3

题型03实系数一元二次方程 4

题型04复数与其他模块 6

题型05平面向量的有关概念 9

题型06平面向量的运算、基本定理 10

题型07平面向量的简单应用 13

题型08平面向量与平面解析几何 16

题型09平面向量的其他应用 20

题型10平面向量难点分析 22

【解题规律·提分快招】

1、解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

2、利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．

(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

3、(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cosθ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法．

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

题型01复数的有关概念

【典例1-1】．设，若存在复数满足（为虚数单位），则．

【答案】0

【分析】先设复数为,再应用共轭复数，结合复数项的相等求参.

【解析】设,则,

所以

所以,

即

故答案为：0.

【典例1-2】．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数.

【答案】

【分析】根据已知条件，列出方程即可求解.

【解析】因为为纯虚数，所以，即，

所以.

故答案为：

【变式1-1】．对于复数（i是虚数单位），则.

【答案】

【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可.

【解析】由题意，所以，则.

故答案为：.

【变式1-2】．若复数满足（为虚数单位），则.

【答案】/

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可求出其共轭复数.

【解析】因为，所以，

所以.

故答案为：

【变式1-3】．复数z满足，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．

【答案】D

【分析】根据复数运算求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解析】由得.

所以

，所以A选项错误.

，所以B选项错误.

对应点为，在第三象限，所以C选项错误.

，所以D选项正确.

故选：D

题型02复数的模

【典例2-1】．已知复数，，，若为纯虚数，则．

【答案】5

【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可；

【解析】，

因为为纯虚数，所以，

所以，所以，

故答案为：5.

【典例2-2】．设复数满足，则.

【答案】

【分析】设，，，根据题设结合复数相等可得，进而结合复数模的公式求解即可.

【解析】设，，，

则，所以，

又，则，，

所以，

则，

所以

.

故答案为：.

【变式2-1】．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为．

【答案】32/

【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.

【解析】因为，又，

所以，

所以复数的虚部为.

故答案为：

【变式2-2】．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则．

【答案】

【分析】设，由已知条件可得，利用复数的乘法运算和模长公式即可得答案.

【解析】复数和的对应点关于直线对称，

设，则有，

由，得，

所以.

故答案为：2

【变式2-3】．已知复数和复数满足（为虚数单位），则.

【答案】

【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值.

【解析】设，

则，

所以，

因为，

所以，

则.

故答案为：.

题型03实系数一元二次方程

【典例3-1】．已知，方程一个虚根为，则.

【答案】

【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理求解即可.

【解析】因为方程一个虚根为，

则其另一个虚根为，

所以，所以，