高数A复习题_精品文档.pptVIP

第十二章无穷级数常数项级数的基本概念级数的基本审敛法定义若级数中各项均有则称这种级数为正项级数.正项级数有下列判别法，它们是今后判别级数敛散性的基础.读者需熟练掌握之.(1)比较判别法(2)比值判别法(3)根式判别法2.正项级数收敛判别法比较判别法定理2设均为正项级数,且若收敛,则收敛;若发散,则发散.注:去掉级数前面有限项不改变数的收敛性,的条件可减弱为注意到级数的每一项同乘不为零的常数以及可知定理为常数,比值判别法定理3设是正项级数,且或当时,级数收敛;当时,包括级数发散;当时,本判别法失效.则注:比值判别法适合于与有公因式的情形.根值判别法(柯西判别法)定理4设是正项级数,当时,且或当时,级数收敛;当时,包括级数发散;本判别法失效.则注:存在或等于的情形.根值判别法适合中含有表达式的n次幂,且解例：判别下列级数的敛散性比值判别法失效,改用比较判别法3、交错级数及其收敛的判别法1.定义:正、负项相间的级数称为交错级数.或其中都是正数。2.定理（莱布尼茨定理，交错级数审敛法）(1)(2)则级数收敛，且其和其余项的绝对值如果交错级数满足条件：注(1)莱布尼兹定理中的条件(1)可换成：(2)用莱布尼兹定理判别时，要计算是否为0，其方法既可用数列求极限的技巧，也可将其转化为来计算；判别单调递减时可用或，也可转化为函数的单调性来判断。(3)由于莱布尼兹定理的条件是充分而非必要的，所以当莱布尼兹定理的条件不满足时，不能由此判断交错级数是收敛还是发散，它的敛散性只能用其他方法来判别。解原级数收敛.收敛区域发散区域发散区域4.幂级数绝对收敛(3)若幂级数缺少项，如缺少奇数次幂的项等，则不能直接应用定理6，应将幂级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法求其收敛域。例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛域为(0,1].和函数常用已知和函数的幂级数**(L.P314,3;L.P315,4;L.317,6)**11.求二元函数极值*解无极值极小值-5极大值31无极值驻点*若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为例5解且商品售价为5,求最大利润.利润函数为*令解得唯一驻点唯一驻点为极大值点，即为最大值点，最大利润为*12.拉格朗日乘数法求条件极值第一步：引入拉格朗日函数第二步：解方程若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点.*用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？例8解由实际问题,即为最小值点.xyz一、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(一)、定义(二)、几何意义当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．(三)性质性质２性质３对区域具有可加性性质１当为常数时，性质４若为D的面积，性质５特殊地则有若在上性质６（估值不等式）性质７（二重积分中值定理）二、二重积分的计算(一)、利用直角坐标系计算二重积分其中函数、在区间上连续.［先y后x］:平行于轴的直线穿过区域内部与其边界最多交于两点。求二重积分的步骤(1)画出积分区域图形,判断类型;(2)定积分上下限(3)写出二次积分再求即可.解积分区域如图解积分区域如图如果被积函数具有等形式，则应选择先对积分。注：解(二)、利用极坐标系计算二重积分例：求D:x2+y2?R2(R0