专题27 圆中定值（解析版）.pdf

专题27圆中定值

1．已知是的切线，是的直径．求证：点、与的距离的和为定值．

MNOABOABMN

【解答】证明：①根据题意可画出图形，过点作于点，过点作于点，

AACMNCBBDMND

连接OE

是的切线

MNO

OEMN

AC//OE//BD

又为中点，

OAB

OE为梯形ACDB的中位线，

ACBD2OE

即ACBD等于定长，为圆的直径．

②如图：当为的直径时，

ABO

点到的距离为的长，点到的距离为0，

AMNABBMN

点、与的距离的和半径，

ABMNAB2

以上可得：点、与的距离的和为定值．

ABMN

2．如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆

ABMABMM

和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．

ABABMC

求证：ACB为定值．

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【解答】证明：连接AM，BM，

由题意得：是内心，

M

平分，平分，

AMCABBMABC

CAMBAM，CBMABM，

AMB180BAMABM，

BAMABM180AMB，

ABC中，

C180(CABACB)1802BAM2ABM1802(180AMB)2AMB180，



所在圆是个定圆，弦和半径都是定值，

ABAB

AMB为定值，

ACB为定值2AMB180．

3．如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于、、三点，记以、、

ABCAB

为顶点的像扇形的区域面积分别为、、，的面积为，求证：为定

CSSSABCSSSSS

123123

值．

【解答】证明：由于半径给定，故切小圆的三条大圆的弦的长度为定值，每条弦把大圆分成两个弓

形，不妨设大弓形的面积为，小弓形的面积为，分别计圆中阴影部分的面积分别为、、

KKTT