专题24.4 圆与二次函数的综合（压轴题专项讲练）（解析版）.pdf

专题24.4圆与二次函数的综合

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【典例1】如图，已知抛物线=++x轴交于点2−1,0和点+2,0，与y轴交于点C，

对称轴轴为直线−1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC上一动点，过点P作∥，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙当

⊙⊙

与坐标轴相切时，求的半径；

（3）直线=+3+4≠0与抛物线交于M，N两点，求△积的最小值．

【思路点拨】

（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2−1)=+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法

可求得函数解析式；

（2）首先求出直线的解析式为=−−3，由∥及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得

的长度，分两种情况讨论：当⊙x轴相切时；当⊙y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于

半径得到方程，解方程即可求得半径；

（3）由=+3+4≠0知，直线过点−3,4)，则得⊥，且=4；联立直线与抛物线的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由=+=2−，可得

△△△

关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．

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【解题过程】

2

=++2−1,0+2,0−1

（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线=

∴

、关于对称轴对称，

∴−1−(2−1)=+2−(−1)，

解得：=−1，

即−3,0)，1,0)，

29−3+=0

把A、B两点坐标代入=++，得，

1++=0

=2

解得：

=−3

2

则所求函数解析式为=+2−3；

2

（2）解：对于=+2−3，令=0，得=−3，

∴(0,−3)，

=+

设直线的解析式为，

−3+=0

则有，

=−3

=−1

解得：，

=−3

=−−3

所以直线的解析式为，

设点−−3)，

∵∥，点Q在抛物线上，

2

∴Q的坐标为(+2−3)，

22

∴=+2−3−(−−3)=+3；

⊙

当与x轴相切时；

2

∴+3=−−3，

22

+3=−−3

即，或+3=−(−−3)，

=−1=−3=1=−3

解得：，或，

=−3=−1=1

显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及，

当=−1时，−−3=−2；当=1时，−−3=−4，

此时⊙半径分别为2或4；

⊙

当与y轴相切时；

2

∴+3=，

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