专题训练 勾股定理30道经典压轴题型（解析版）.pdfVIP

专题训练勾股定理30道经典压轴题型

【题型归纳】

勾股定理30道经典压轴题型

【重难点题型】

1．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中

正确的有（）

①△ACE≌△BCD②∠DAB∠ACE③AE+ACAD④AE2+AD22AC2

；＝；＝；＝

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则

可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝

∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③

不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确．

【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，

∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

ìCE=CD

ï

ÐACE=ÐBCD

í，

ïCA=CB

î

∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确；

∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，

而∠CAB＝∠E＝45°，

∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；

在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示，

在△ACE和△FCD中，

ìAE=FD

ï

íÐE=ÐCDF=45°

ïCE=CD

î

ACE@FCD(SAS)

∴△△，

∴AC=FC，

当ÐCAF=60°，△ACF是等边三角形，

则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，

但ÐCAF=60°无法求证，

故③不正确；

由①得，△ACE≌△BCD，

AE=BDÐCEA=ÐCDB=45°

∴，，

∴ÐADB=ÐCDB+ÐEDC=90°，

∴△ADB是直角三角形，

222

∴AD+BD=AB，

222

∴AD+AE=AB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=2AC，

∴AE2+AD2=2AC2，故④正确；

故选C．

【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和

性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．

2．在Rt△ABC中，AB=AC，ÐBAC=90°，、为BC上两点，ÐDAE=45°，为VABC外一点，且

DEF

1

FBBC，FAAE，则下列结论：①CE=BF；②BD2+CE2=DE2；③S△ADE=AD×EF；④

2

CE2+BE2=2AE2，其中正确的是（）

A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④

【答案】C

VAFB≌VAECCE=BF

【分析】根据等腰直角三