专题4.4 辅助圆定点定长（题型专练）（原卷版）.pdf

专题4.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

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【典例1】（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识

解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠

BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A

的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点

G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．

【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则

∠BDC＝．

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【变式1-2】如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为

（）

A．68°B．88°C．90°D．112°

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【变式1-3】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．

【变式1-4】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD

＝．

【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，

那么∠BDC＝．

【变式1-6】如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中

点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△ADE，如图（2），设旋转角为a（0°

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＜a≤180°），记直线BD与CE的交点为P．

11

（1）求证：BD＝CE；

11

（2）当∠CPD＝2∠CAD时，则旋转角为a＝（直接写结果）

11

（3）连接PA，△PAB面积的最大值为（直接写结果）

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【典例2】如图