高考数学刷题评估练：核心素养提升练 直接证明与间接证明.doc

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核心素养提升练三十八直接证明与间接证明

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明:设abc，且a+b+c=0，求证:b2-ac3a.

A.a-b0 B.a-c0

C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0

【解析】选C.要证b2-ac3a，只需证b2-ac3a2，只需证b2-a(-b-a)3a2，只需证2a2-ab-b20，只需证(2a+b)(a-b)0

2.设a=2，b=7-3，c=6-2，那么a，b，c的大小关系是 ()

A.abc B.acb

C.bac D.bca

【解析】选B.由已知，a=422，b=

c=46+2，因为7+36+2

所以bca.

3.若1x10，下面不等式中正确的是 ()

A.(lgx)2lgx2lg(lgx)

B.lgx2(lgx)2lg(lgx)

C.(lgx)2lg(lgx)lgx2

D.lg(lgx)(lgx)2lgx2

【解析】选D.因为1x10，所以x2x，0lgx1，lg(lgx)0，lgx2lgx(lgx)2，

lgx2(lgx)2lg(lgx).

4.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是 ()

A.方程x3+ax+b=0没有实根

B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根

C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根

D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根

【解析】选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根.

5.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题:①若α∥β，则l⊥m;②若l⊥m，则α∥β;③若α⊥β，则l⊥m;④若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数是 ()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确;若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确;若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确;若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.等式“sinx1+cosx=1-cosxsinx”的证明过程:“等式两边同时乘以sinx1-cosx得，左边=sinx1+cosx·sinx1-cosx=sin2x

【解析】由综合法的特点可知，此题的证明用的是综合法.

答案:综合法

7.设n∈N*，则n+4-n+3______?n+2-n+1(填“”“”或

【解析】要比较n+4-n+3与n+2-n+1的大小，即判断(n+4-n

=(n+4+n+1)-(n+3+

因为(n+4+n+1)2-(n+3+

=2[(n+4)(

=2(n2+5n+4

所以n+4-n+3n+2

答案:

8.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是________.

【解析】“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12

答案:|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.求证抛物线y2=2px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x=-p2相切.

【证明】如图，作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线.

要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|=12|AB|

由抛物线的定义:|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，

所以|AB|=|AA′|+|BB′|，

所以只需证|MM′|=12(|AA′|+|BB′

由梯形的中位线定理知上式是成立的.

所以，以过焦点的弦为直径的圆必与x=-p2

10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.

【解析】假设f(x)=0有整数根n，则

an2+bn+c=0，

由f(0)为奇数，知c为奇数，

f(1)为奇数，知a+b+c为奇数，

所以a+b为偶数，又an2+bn=-c为奇数，

所以n与an+b均为奇数，又a+b为偶数，

所以an-a为奇数，即(n-1)a为奇数，

所以n-1为奇数，这与n为奇数矛盾.

所以f(x)=0无整数根.

(20分钟40分)

1.(5分)证明命题“f(x)=ex+1ex在(0，+∞)上是增函数”，

因为f(x)=ex+1e

所以f