（浙江版）高考数学复习： 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（讲）.docVIP

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第01节平面向量的概念及线性运算

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

1.平面向量的实际背景及基本概念

理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。

2013·浙江理7;

2014?浙江文22;

2015?浙江理15;

2016?浙江文理15;

1.以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；

2.考查单位向量较多.

3.备考重点：

(1)理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；

(2)注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.

2.向量的线性运算

掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。

2013·浙江7;

2015?浙江文13,理.15;

2016?浙江文理15;

【知识清单】

1．向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

对点练习：

给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③(为实数)，则必为零．

其中错误的命题的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．0

【答案】

故选.

2．平面向量的线性运算

一．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：；

(2)结合律：

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

二．向量的数乘运算及其几何意义

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①；②；③.

对点练习：

【2015高考新课标1】设为所在平面内一点，则（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】由题知=，故选A.

3．共线向量

共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

对点练习：

设两个非零向量a与b不共线，

(1)若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，

求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．

【答案】（1）证明见解析；（2）k＝1.

又∵λ0，∴k＝1.

【考点深度剖析】

平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．

【重点难点突破】

考点1向量的有关概念

【1-1】给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a||b|，则ab；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】

【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥.

又∵是不共线的四点，

∴四边形是平行四边形．

反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝.

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

选.

【领悟技法】

(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．

(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．

(3)几个重要结论

①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

【触类旁通】

【变式一】给出下列命题：

①的充要条件是且；

②若向量与同向，且，则；

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

⑥任一向量与它的相反向量不相等．

其中真命题的序号是________