人教A版高中数学(必修第二册)导学案6.2.3向量的数乘运算（解析版）.docVIP

《6.2.3向量的数乘运算》

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题1】可以,即=.

【问题2】与的方向相同,与的方向相反.

【问题3】的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ.

【问题4】成立,向量同样满足分配律、结合律.

（二）向量的数乘运算

1.向量的数乘运算

1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2．规定：①|λa|＝|λ||a|，

②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3．运算律：设λ，μ为实数，则

(1)λ(μa)＝λμa；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

4.向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.

【做一做1】解析：∵a＝4b,40，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．

答案：C

【做一做2】答案：D

2.向量共线定理

【探究1】正确．

【探究2】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.

【探究3】一定存在,且是唯一的.

向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

【辩一辩】答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×

（三）典型例题

【例1】【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]＝eq\f(1,2)(3a－eq\f(2,3)a＋2b－b)－eq\f(7,6)(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)b)

＝eq\f(1,2)(eq\f(7,3)a＋b)－eq\f(7,6)(a＋eq\f(3,7)b)＝eq\f(7,6)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(7,6)a－eq\f(1,2)b＝0.

(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)

＝6a＋2b.

【巩固练习1】【解】（1）

=.

（2）

=

【例2】(1)证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).

所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．

（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，

由于e1与e2不共线，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.

【巩固练习2】解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))

答案：－eq\f(1,3)

【例3】【解】因为eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).

(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.

(2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－e